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流体力学与传热Ⅱ：第 41–50 页

流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
• 点速度与 r 的关系为抛物线，中心位置速度最大
例
已知压差 Δp、管长 l、管半径 R、流体粘度 μ，即可代入 r 计算管内任意位置的
点速度。
层流平均速度与最大速度的关系
• 体积流量可通过微元积分计算：每个微元体积 = 点速度 × 截面积（2πr × dr ） ，
在 0 到 R 范围内积分
• 积分结果对比：平均流速 = 最大速度的 1/2
注意
平均速度与最大速度的关系（层流） ：u_avg = u_max / 2 。平均速度一定小于最
大速度，这是层流的特征结论，湍流不适用此关系。
层流的速度分布规律
• 层流速度分布呈抛物线形，最大速度位于管中心轴处
• 层流的平均速度是最大速度的一半：u_avg = 0.5 * u_max
• 层流速度分布公式是本章重点掌握内容
湍流的速度分布规律
• 湍流存在径向脉动和质点间相互碰撞，比层流复杂得多
• 本科生不要求掌握湍流的详细推导，了解即可
• 湍流黏度 = 流体本身黏度 + 湍流黏度（把流动状况也考虑进去） ，写法类似于
牛顿粘性定律
• 湍流点速度经验公式：u = u_max * (1 - r/R)^n ， 不再是抛物线， 指数为n 而非平
方
• 湍流每一层的速度比层流要大一些
• n 的取值与雷诺数 Re 有关
• 工业应用中常见范围内，湍流的平均速度约为最大速度的 0.8 倍
流型的判断（层流 vs 湍流）
• 实验判断：观察有无径向脉动
• 判据：雷诺数 Re
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流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
– Re < 2000 ：层流
– Re > 4000 ：湍流
– 2000 < Re < 4000 ：过渡区（不是一种流型）
• 雷诺数用于判断流体的湍动程度
两种流型对比
• 层流：速度分布为抛物线，平均速度 = 最大速度的 1/2
• 湍流：速度分布为经验公式 (1 - r/R)^n ，平均速度约为最大速度的 0.8 倍
• 重点掌握层流，湍流了解即可
质量守恒（连续性方程）
• 稳定流动系统中，管内不同截面处单位时间流过的质量相等，即质量流量相等
• 质量流量 = 密度 × 体积流量 = 密度 × 流速 × 截面积
• 任意截面处：ρ1 * u1 * A1 = ρ2 * u2 * A2
定义
连续性方程 （质量守恒方程） ：稳定流动中，任意截面处密度× 流速 × 截面积
相等。
• 不可压缩流体（密度不变） ：u1/u2 = A2/A1 ，速度之比等于截面积反比
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流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
• 圆管情况下：u1/u2 = (d2/d1)^2 ，速度之比等于直径平方的反比
• 管径越小，流速越大
例
小时候玩胶皮管，把管子捏小一点，水流速度变大——这就是质量守恒的直观
体现。
• 工程应用：可用于选型，确定输送管道的管径
工程常用流速范围
• 液体在管内流动：0.5 ∼ 3 m/s
• 气体在管内流动：5 ∼ 30 m/s
• 计算题中若算出液体流速达几百 m/s，说明公式用错了
注意
设计计算时， 应检查算出的流速是否落在合理范围内， 以此判断计算是否正确。
机械能衡算式的物理模型
• 流体从 1 截面输送到 2 截面，中间可能经历：
– 输送机械（如离心泵）做功
– 换热器加热提供热能
• 衡算范围：1 到 2 截面包围的流动跨度
• 衡算基准：1 kg 流体，能量单位为 J/kg
定义
以 1 kg 流体为基准的能量单位是焦耳每千克（ J/kg） ，表示1 kg 流体具有的能
量。
• 位能需要先确定基准面（以地面为 0 或某截面为 0）
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流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
输入端与输出端的能量项
输入端（1 截面）包含六项能量：
• 内能
• 位能：gz（将 1 kg 流体从基准面提升到高度 z 所做的功）
• 动能：u²/2（1 kg 流体以速度 u 运动具有的能量）
• 静压能：p/ρ（压强 × 截面积 × 距离 = pV，除以质量得 p/ρ）
• 热能 q：换热器对 1 kg 流体提供的热能
• 功 We：输送机械对 1 kg 流体做的有效功
输出端（2 截面）包含四项能量：
• 内能、位能、动能、静压能
注意
We 的单位是 J/kg（焦耳每千克） ，而设备铭牌上的功率单位是W（焦耳每秒） 。
算出的 We 必须再乘以质量流量 （kg/s） 才能得到功率， 用于设备选型。 很多同
学算到 We 就结束，是没搞清楚其物理意义。
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流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
能量衡算式的推导
• 能量守恒式：输入端六项 = 输出端四项
• 用热力学第一定律将内能差换算：Δu = Q - W
• 对外做功 W 由膨胀功和能量损失两部分组成
• 代入并化简后，q 和 Δpv 项约掉，得到机械能衡算式
机械能衡算式（重点公式）
• 等号左边：三项机械能（位能、静压能、动能） + 输送机械对 1 kg 流体做的功
We
• 等号右边：三项机械能（位能、动能、静压能）+ 能量损失
定义
机械能衡算式：gz1 + p1/ρ + u1²/2 + We = gz2 + p2/ρ + u2²/2 + Σhf 左边为输入
能量（含输送机械做功） ，右边为输出能量（含流动阻力损失） 。
• 考试中可能占 30 分以上，是综合计算的核心公式
机械能衡算式的应用
• 位置 z 的计算：上下游截面的位置或高度差
• 流速 u 的计算：流速 × 截面积 = 流量，流量是设备选型的关键量（铭牌上的量
程）
• 压强 p 的计算
• 有效功 We 的计算：用于设备选型（We × 质量流量 = 功率，再考虑效率）
• 阻力 Σhf 的计算：后续会专门花一节讲
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流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
特殊情况
• 无输送机械（如从高处往低处流） ：We = 0
• 理想流体（能量损失为 0） ：Σhf = 0
定义
伯努利方程： 当无输送机械且为理想流体 （能量损失为0） 时， 机械能衡算式简
化为左边三项机械能 = 右边三项机械能。
注意
使用伯努利方程形式时，必须明确其前提条件：忽略了能量损失，且没有输送
机械。
压强的表达形式
• 计算时统一使用绝对压（真实压强）
• 由于方程左右两边都有压强项，都减掉一个大气压结果相同，所以用表压或真
空度也可以
• 但必须统一表达形式，不能混用
注意
压强表达形式不统一是反复出错的点。若算出的结果很离谱，优先检查压强是
否统一。
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流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
机械能衡算式的三种表达形式
• 单位质量形式（J/kg） ：gz + p/ρ + u²/2
• 单位体积形式（Pa，即 J/m³） ：各项乘以密度ρ，ρgz + p + ρu²/2
• 单位重量形式（m 液柱，即 J/N） ：各项除以重力加速度g，z + p/(ρg) + u²/(2g)
注意
三种表达形式可以混用，但同一方程中必须统一。若把压强形式与速度平方形
式混用，对水来说会差 1000 倍。这是考试中反复出错的原因。
• 当流速为 0 时，机械能衡算式退化为静力学基本规律
10 月 10 日
机械能衡算式（机械能守恒式）
• 本章最重要的两个公式之一：连续性方程与机械能守恒式
• 连续性方程（圆管） ：流速之比等于管径平方的反比，本质是质量守恒
• 机械能守恒式：下标 1 为上游截面，下标 2 为下游截面
• 上游三项机械能 = 静压能 + 位能 + 动能；下游同理
• w 表示对 1 kg 流体所做的有效功（流体输送机械做功）
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流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
• Σhf 表示从截面 1 到截面 2 的流体能量损失
定义
机械能衡算式： 上游截面的三项机械能之和+ 输送机械对流体做的有效功 = 下
游截面的三项机械能之和 + 能量损失。
• 若系统无输送机械，则 w = 0
• 若为理想流体，忽略能量损失，则 Σhf = 0 ，退化为伯努利方程
• 伯努利方程：上游截面三项机械能之和 = 下游（或任意连续流动截面）三项机
械能之和，为常数
机械能衡算式的三种表达形式
• 除以 1 kg 流体：单位焦耳每千克（J/kg）
• 除以 g（每项除以 g） ：单位米液柱（m）
• 乘以密度 ρ：单位帕斯卡（Pa） ，即牛顿每平方米（N/m²） ，等价于焦耳每立方
米（J/m³）
• 三种形式分别对应：对 1 kg 流体、1 N 流体、1 m³ 流体的能量守恒
注意
同一公式可用三种单位形式表达，做题时必须统一单位，不能混用。
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流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
压头的概念
• 以米液柱形式表示时，三项机械能各有名称：
– 位能 → 位压头
– 动能 → 动压头
– 静压能 → 静压头
• 三者之和称为总压头
伯努利方程的适用范围
• 适用于理想流体且无输送机械的情况
• 也适用于静止流体（u = 0 时） ，即静力学基本方程
• 实际流体（如水）有粘度，做实验时并非理想流体，需考虑能量损失
注意
伯努利方程只适用于理想流体；实际流体有粘性，存在能量损失，需用完整的
机械能衡算式。
高位槽-管路系统的能量分析（压头形式）
• 以三个截面（0、1、2）分析，设最低截面位压头为 0
零截面（高位槽液面） ：
• 位压头 = h
• 静压头 = 0（敞口，表压为 0）
• 动压头 = 0（液面流速为 0）
注意
敞口容器液面上方表压为 0，且储槽直径远大于管径，由连续性方程可知液面
流速近似为 0。今后遇到敞口容器液面，这两项能量可直接视为 0。
一截面（管中插入玻璃管处） ：
• 位压头 = 0（以此为基准面）
• 静压头 = 液柱高度 h₁（即 p₁/ρg）
• 动压头 = 大 H 减去小 h₁ 的剩余部分
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例
玻璃管液柱高度 h₁ 表示该处静压头 （p₁/ρg） 。 若测得总压头H 和静压头 h₁，
两者相减即为动压头，可据此算出流速：动压头 = u²/(2g)。
二截面：
• 位压头 = 0（同一基准面）
• 静压头 = 液柱高度 h₂
• 动压头 = 大 H 减去 h₂ 及位压头后的剩余部分
• 管径越大，流速越小，动压头越小
例
理想流体流动过程中，三项机械能相互转换 （位能→ 静压能 → 动能等） ，但总
和保持不变。实际做实验时高度可能不够，能量转换不完全，需注意。
有效功率、轴功率与电机功率
• 有效功 w 单位是 J/kg，表示输送机械对 1 kg 流体做的功
• 有效功率 = w × 质量流量 qm（kg/s） ，即单位时间对流体做的有效功
• 有效功率 ≠ 输送机械输出的轴功率，两者之间有效率 η
定义
轴功率 = 有效功率 / 效率 η。电机功率 = 轴功率 / 电机效率。计算有效功率的
目的是为了输送机械的选型。
• 能量传递链：电机 → 泵（输送机械）→ 流体，每级都有能量损耗
• 做实验时可能记录的是电机功率，需通过效率换算回有效功率
Study Notes 50 / 341 先看条件，再套公式

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