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流体力学与传热Ⅱ：第 51–60 页

流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
可压缩流体的适用性
• 公式推导时假设为不可压缩流体
• 输送气体（可压缩）时，若两截面压强变化幅度不超过 20%，公式仍可用
• 此时密度 ρ 取截面 1 和截面 2 的平均密度，而非 p₁ 或 p₂ 对应的密度
注意
气体为可压缩流体，仅在压强变化不超过 20% 时可用此公式，且密度必须取两
截面的平均密度。
伯努利效应的生活应用
• 加压后喷出的水柱推动乒乓球旋转而不掉落
• 高速水流中压强小于周围大气压，乒乓球被大气压簇拥并被水柱托举
• 球附近水滴被带动旋转， 两侧流速不均， 靠近中线一侧速度大、 压强小， 球向中
线靠拢，稳定在水流上方
• 保持旋转的关键：水流必须垂直且不能分散
例
伯努利效应应用：飞机升力来源之一、喷雾器、球类比赛中的旋转球、高铁站
台安全线。
• 高铁进站时， 靠近车厢的空气被带动， 流速大、 压强小， 旅客身体前后出现压强
差，会被吸向列车
• 1912 年奥林匹克号与豪克号相撞事故： 两船平行航行时， 中间水流比外侧快， 中
间压强小， 外侧水压将两船推向中间， 豪克号较小、 靠拢更快， 最终撞上奥林匹
克号
• 航海界称此现象为” 喘息现象”
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流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
机械能衡算式的应用步骤
• 公式可求解：某截面处的压强、 位置、 流速、 流量，或对输送设备进行选型 （计
算有效功）
• 共 4 个应用（4 道例题）
应用步骤：
1. 明确衡算范围，选好上下游截面，两截面必须是连续流动的
2. 确定位能基准面（一般选地面或两截面中较低者）
3. 截面选取原则：选已知条件多的、与流动方向垂直的、稳定连续流动的截面
4. 单位必须保持一致
5. 压强表达形式要统一（全用绝对压或全用表压）
注意
管内流动时，零位面取管的中轴线。若管径变化但中轴线不变，则位能不变。
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流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
例题：高位槽向塔内进料
• 高位槽敞口，液面上方表压为 0
• 塔内压强表压为 0（不吃饭/常压）
• 送液管为 φ45×2.5 钢管，内径 = 40 mm
• 送液量 = 3.6 m³/h （体积流量）
• 管内压头损失 = 1.2 m 液柱
注意
压头损失 1.2 m 是以米液柱表示，若公式用 J/kg 形式，需乘以 g 换算；或将整
个公式同除以 g。
• 括号说明：损失能量不包括出口能量损失
• 出口位置在管内（尚未出去） ，与真正进入塔内不同：塔内截面积无穷大，流速
为 0，机械能不同
• 选择截面：截面 1 在高位槽液面，截面 2 在管子出口位置（管内）
• 已知从截面 1 到截面 2 的损失能量，故选定这两个截面
• 要求：计算高位槽液位需多高，才能以该流量输送
机械能衡算式的单位统一
• 机械能衡算式中每一项的单位必须统一，否则计算结果会严重偏离
• 压强项：用帕斯卡（Pa）做单位，若给出的是千帕（kPa）需换算
• 密度项：用千克每立方米（kg/m³）
• 流速项：用米每秒（m/s）
• 体积流量换算：立方米每小时（m³/h）需除以 3600 换算为立方米每秒（m³/s）
注意
若流速算出来是 2000 多（如 2860 m/h） ，说明单位没换算，不能继续代入公式
计算，必须先把 m/h 换算成 m/s。例如 0.8 m/s 与 2900 m/h 平方后结果相差极
大。
例
体积流量 3.6 m³/h，换算为 m³/s：3.6 ÷ 3600 = 0.001 m³/s ，再除以截面积得到
流速 u₂。
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流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
液体在管内流速的经验范围
• 液体在管内流动的一般流速范围为 0.5∼3 m/s
• 若算出的流速不在此范围内，应检查单位换算是否正确
注意
气体流速范围与液体不同，气体一般为 3∼30 m/s，均属合理范围。
应用一：求位置关系（求高度）
• 选取一截面（敞口液面）和二截面（出口）列机械能衡算式
• 一截面：敞口，表压 p₁=0，流速 u₁=0，只剩位能项
• 二截面：出口为大气压，表压 p₂=0，以该处为零位面 z₂=0
• 无泵（无输送机械） ，故功项w=0
• 关键：先由体积流量除以截面积算出 u₂，再代入公式求 z₁
应用二：求泵的轴功率
• 泵的轴功率 = 有效功率 ÷ 效率
• 有效功率 = 有效功 × 质量流量
• 题目给的是体积流量，需乘以密度换算为质量流量
定义
有效功率：泵实际传递给流体的功率，等于有效功（单位质量流体获得的能量）
乘以质量流量。轴功率：泵从电机获得的输入功率，等于有效功率除以泵的效
率。
• 选泵时，应选择轴功率略大于计算值的泵（如算得 4.2 kW，选 4.5 kW 的泵）
入口管与出口管的管径区分
• 离心泵入口前的管为入口管，泵出来的管为出口管，两者管径可能不同
• 计算流速时，流量除以对应管段的截面积，用该管段的管径
注意
计算某截面流速时，必须用该截面所在管段的管径。入口管和出口管管径不同，
不能混用。
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流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
应用三：求流量（文丘里管测流量）
• 文丘里管：管径逐渐减小再逐渐扩大的装置，用于测量流量，最窄处称为喉径
• 本题：主管径 d₁=80 mm，喉径 d₂=20 mm，输送 20℃ 空气
• 通过 U 型管（水银）和玻璃管（水）测量两截面压强
定义
文丘里管：一种流量测量装置，通过管径先收缩后扩大，利用截面变化引起的
压差来测定流量。
可压缩流体的适用条件
• 机械能衡算式适用于不可压缩流体
• 当 (p₁ - p₂) / p₁ < 20% 时，气体可近似按不可压缩流体处理，可用该公式
注意
判断是否可用公式时，必须用真实压强（绝对压强）计算 (p₁-p₂)/p₁，不能
用表压。若用表压计算，因 p₂ 为负值，结果会超过 100%，导致错误判断。
压强测量与计算
• 一截面压强：p₁ = 大气压 + ρ_ 汞·g·R（R 为水银柱液柱差）
• 二截面压强：p₂ = 大气压 - ρ_ 水·g·h（h 为水柱高度）
• 表压形式：p₁ = ρ_ 汞·g·R，p₂ = -ρ_ 水·g·h
• 气体流动时，忽略气柱本身产生的压强
例
已知 R=0.025 m（水银，ρ=13600 kg/m³） ，h=0.5 m（水，ρ=1000 kg/m³） ，g=9.81
m/s²。 表压p₁ = 13600×9.81×0.025 ≈ 3335 Pa ，p₂ = -1000×9.81×0.5 = -4905
Pa。用真实压强计算 (p₁-p₂)/p₁ ≈ 7.9% < 20% ，可用机械能衡算式。
连续性方程与流速关系
• 连续性方程：不可压缩流体在管内流动时，体积流量守恒，u₁A₁ = u₂A₂
• 流速与管径的平方成反比：u₂/u₁ = (d₁/d₂)²
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流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
例
d₁=80 mm，d₂=20 mm，则 (d₁/d₂)² = 16 ，即 u₂ = 16u₁ 。
气体的平均密度计算
• 气体密度公式：ρ = pM / (RT)
• 标准状态：温度 0℃（273 K） ，压强为标准大气压
• 空气分子量 M = 29 g/mol
• 可压缩流体需用平均密度（取两截面平均压强代入计算）
定义
平均密度：对可压缩流体，因密度随压强变化，计算时取两截面平均压强代入
气体状态方程求得的密度。
应用四：求压强（虹吸管）
• 虹吸管中水流动，液面保持稳定，管径不变
• 忽略能量损失、无输送机械，简化为伯努利方程：各截面三项机械能之和相等
• 因管径相同，截面 2、3、4、5、6 的流速均相同
定义
虹吸管：利用液面高度差和大气压作用，使液体越过高位障碍物连续流动的管
道装置。
虹吸管各截面压强定性分析
• 一截面（水槽液面） ：表压为0，流速为 0，总能量只剩位能
• 截面 3 和 5：在同一水平面，位能、动能相等，故 p₃ = p₅
• 截面 2：位能最小，静压能最大，故 p₂ 最大
• 截面 4：位置最高，位能最大，故压强最小
注意
虹吸管最高点（截面 4）是压强最小的点。若该处压强小于液体的饱和蒸汽压，
液体将汽化产生气体，导致虹吸中断，无法连续输送。
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流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
虹吸管压强计算思路
• 选已知条件多的截面列方程： 一截面 （三项能量已知） 和六截面 （位置、 压强已
知，剩动能）
• 在截面 1 和 6 之间列机械能衡算式，求出 u₆
• 因 2∼6 流速相同，动能已知，各截面位置已知，即可求出各截面压强
• 计算结果应验证符合定性规律：p₂ 最大，p₃ = p₅ ，p₄ 最小
机械能衡算式的应用总结
• 机械能衡算式只有 4 个应用： 求压强、 求位置关系、 求流速流量、 求输送机械的
有效功
• 完整衡算式中唯一不会求的项是能量损失（流体流动阻力）
• 流体流动阻力分为两部分：直管阻力（直管内流动）和局部阻力（变管径、阀
门、泵、换热器等管件处）
• 从衡算截面 1 到截面 2 的总阻力 = 直管阻力 + 局部阻力之和
直管阻力的推导（水平等径管）
• 对水平等径管列机械能衡算式：位置相等、动能相等（等径） ，两者约掉
• 阻力表达形式：hf = (p1 - p2) / ρ ，即静压能的变化
• 若为倾斜管道，还需考虑位置（位能）变化
直管阻力的受力分析
• 流体在管内恒速（匀速）流动，合力为 0
• 推动力 = 压强 × 截面积（p × πd²/4 ）
• 摩擦力 = 剪应力 × 表面积（τ × πdl ，注意表面积用 πdl 而非 πd²/4）
• 推动力与摩擦力大小相等、方向相反
注意
表面积计算用 πdl（圆柱侧面积） ，πd²/4 是截面积，两者不可混淆。
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流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
范宁公式（直管阻力通用公式）
• 直管阻力损失通用公式：hf = λ ·(l/d) ·(u²/2)
• 该公式对层流和湍流都适用，因为受力分析与流型无关
• 只是 λ（摩擦系数）的表达形式随流动状况不同而不同
• 管径、流速可测，关键难点在于求摩擦系数 λ
定义
范宁公式：hf = λ ·(l/d) ·(u²/2)，用于计算直管阻力损失（单位：J/kg） 。
阻力损失的不同表达形式
• 除以重力加速度 g：变为压头损失，符号用 Hf（单位：米液柱）
• 乘以密度 ρ：变为压力损失，符号用 Δpf（单位：Pa）
注意
Δp 与 Δpf 物理意义完全不同：
• Δp 表示两个截面的压强差，Δ 表示增量
• Δpf 表示压力损失（能量损失） ，Δ 只是符号，不表示增量
• 仅在无外功加入、水平等径管条件下，两者数值上相等，但物理意义不同
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流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
层流摩擦系数 λ 的推导
• 利用层流速度分布方程：管中心处流速最大
• 层流平均流速 = 最大流速的一半
• 将半径 r 换成直径 d 的表达形式（r = d/2 ）
定义
哈根-泊肃叶方程：Δpf = 32μlu / d²（单位：Pa） ，用于计算层流压力损失。若除
以 ρ 则得到 J/kg 单位的能量损失。
• 由哈根-泊肃叶方程与范宁公式对比，可推出层流摩擦系数：
定义
层流摩擦系数：λ = 64 / Re （Re 为雷诺准数） 。
注意
直管阻力损失与流速的关系：
• 不能仅凭范宁公式就断言阻力与流速的二次方成正比， 因为λ 本身与流速有
关
• 对层流流体，λ = 64/Re， 代入范宁公式后流速被约掉， 阻力损失与流速一次
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流体力学与传热 Ⅱ 课堂笔记
方成正比
• 只有完全湍流区（λ 为常数）时，阻力才与流速二次方成正比
注意
层流能量损失可用 J/kg 或 Pa 两种单位计算， 两者相差1000 倍， 务必记清单位，
否则误差巨大。
湍流摩擦系数 λ 的因次分析法
• 湍流流动复杂，采用因次分析法，目的是减少实验工作量
• 应用原理：因次一致性——等号左右两边各基本因次（长度、质量、时间、温
度）的指数必须相等
定义
白金汉定理：描述一个物理现象，若有 n 个独立变量、m 个基本因次，则该现
象可用 n - m 个独立的无因次数群表示。
定义
无因次数群：多个量组合成一个数群，但没有单位（如雷诺准数） 。
Study Notes 60 / 341 先看条件，再套公式

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