课程目录 · 全部课程 · 原始 PDF

机械设计基础：第 91–100 页

机械设计基础 课堂笔记
• 一对齿廓 E1、E2 在 K 点啮合，两轮角速度分别为 ω1、ω2
• 两条关键线：
– 公法线 N1N2： 过啮合点K 的公法线 （齿轮啮合为高副， 仅约束公法线方向）
– 连心线 O1O2：两回转中心的连线
• K 点速度：VK1 = ω1 ·O1K（垂直于 O1K） ，VK2 = ω2 ·O2K（垂直于 O2K）
• 两速度在公法线上的分速度必须相等，否则齿廓要么被挤在一起、要么分开
定义
齿廓啮合的基本定律：要使两齿轮的瞬时传动比保持恒定，则两齿廓在任意接
触点处的公法线 N1N2 必须与连心线 O1O2 交于一个定点 C，该定点称为节点。
• 推导过程： 由VK1·cosαK1 = VK2·cosαK2， 得ω1/ω2 = (O2K·cosαK2)/(O1K·
cosαK1)
• 利用直角三角形关系：O2K·cosαK2 = O2N2 ，O1K·cosαK1 = O1N1
• 由三角形 O1CN1 与 O2CN2 相似，得 ω1/ω2 = O2C/O1C
• 因 O1O2 为定长，要保证传动比恒定，必须使 C 点（节点）为定点
注意
• 节点 C 是公法线 N1N2 与连心线 O1O2 的交点，不是任意点
• 公法线 N1N2 与连心线 O1O2 是两条不同的线，概念要区分清楚
共轭齿廓
定义
共轭齿廓：凡是能满足齿廓啮合基本定律而相互啮合的一对齿廓，称为共轭齿
廓。
• 共轭齿廓有多种，常用的是：渐开线齿廓、摆线齿廓、圆弧齿廓
• 渐开线齿廓在工程中应用最广泛，且是共轭齿廓（能满足齿廓啮合基本定律）
Study Notes 91 / 344 先看条件，再套公式

机械设计基础 课堂笔记
渐开线的形成
• 渐开线形成的要素：
– 发生线：一条直线 L
– 基圆：半径为 RB 的圆
• 当发生线沿基圆做纯滚动时，发生线上任意一点的轨迹就是该圆的一条渐开线
例
• 图中 AA1K 即为一条渐开线，由发生线上某一点在滚动过程中的轨迹形成
渐开线的性质
性质一：弧长等于直线长
• 发生线在基圆上滚过的弧长，等于发生线自身滚过的直线长度
• 图中：弧长 AB = 直线长 B1K
性质二：公法线与基圆相切
• N 点是发生线滚动时的速度瞬心，发生线 KN 是渐开线在 K 点的法线
• 发生线始终与基圆相切，因此渐开线上任意点的公法线一定与基圆相切
性质三：曲率半径
Study Notes 92 / 344 先看条件，再套公式

机械设计基础 课堂笔记
• 发生线与基圆的切点 N 是渐开线 K 点处的曲率中心，线段 KN 为曲率半径
• 离基圆越远，曲率半径越大；离基圆越近，曲率半径越小
• A 点处的曲率半径为 0（最小）
注意
• 渐开线的” 基圆” 与凸轮机构的” 基圆” 概念不同，不要混淆
• 渐开线任意点的公法线必与基圆相切， 这是后续分析渐开线齿廓满足啮合基
本定律的关键
渐开线形状与基圆半径的关系
• 渐开线的形状取决于基圆半径（基圆大小）
• 基圆半径越小，渐开线越弯曲
• 基圆半径越大，渐开线越平直
• 同一基圆上可形成多条渐开线（由不同发生线形成） ，形状相同，仅位置不同
渐开线的性质（五）
• 基圆内部没有渐开线，渐开线只能从基圆处开始向外展开
同一基圆上两条渐开线的公法线长度
• 同一基圆上两条渐开线的公法线长度相等
• 推导依据：渐开线上任意点的公法线与基圆相切，且发生线沿基圆滚过的弧长
等于对应直线段长度
• 即：K1K2 = K1B + K2B = A1B 弧长 + A2B 弧长 = A1A2 弧长
• 同理 K1’K2’ 也等于 A1A2 弧长
Study Notes 93 / 344 先看条件，再套公式

机械设计基础 课堂笔记
渐开线齿廓满足齿廓啮合基本定律的推导
• 一对渐开线齿轮啮合时，公法线 N1N2 必须同时与两个基圆相切
• 与两个圆都相切的线称为公切线，此处为一条内公切线
• 两个基圆在某一方向上的内公切线是唯一的，因此公法线 N1N2 唯一
• 连心线 O1O2 固定不变，公法线唯一，故公法线与连心线的交点 C 为定点
• C 点为定点即满足齿廓啮合基本定律，传动比 ω1/ω2 为恒定值
定义
节点： 两齿廓公法线与连心线O1O2 的交点 C。 节圆： 以O1 为圆心、O1C 为半
径的圆，以及以 O2 为圆心、O2C 为半径的圆。节圆半径用 r1’、r2’ 表示。
渐开线齿轮的传动比
• 一般齿轮传动比 i = ω1/ω2 = O2C/O1C
• 渐开线齿轮传动比 i = RB2/RB1 （基圆半径之比）
• 推导依据：相似三角形 O2CN2 与 O1CN1，其中 O1N1 = RB1 ，O2N2 = RB2
• 传动比等于节圆半径（或直径）之比，也等于基圆半径（或直径）之比。
• 因两齿轮压力角相等，也等于分度圆半径（或直径）之比。
• 分度圆直径与齿数成正比，故传动比等于齿数比：
Study Notes 94 / 344 先看条件，再套公式

机械设计基础 课堂笔记
定义
渐开线齿轮的传动比 i = r2/r1 = d2/d1 = z2/z1 。
渐开线齿轮的压力角
• 压力角定义：齿廓上 K 点处受力方向与速度方向之间的夹角（取锐角）
• 受力方向：沿公法线方向（不考虑摩擦）
• 速度方向：垂直于 O1K（回转中心为 O1）
• 在直角三角形 O1NK 中：cos αk = RB / rk
• rk 为向径，即齿廓上任意点与回转中心的连线（与凸轮向径概念类似）
注意
向径越大，压力角越大（cos αk 越小，αk 越大） 。基圆上A 点处向径 rk = RB ，
cos αk = 1 ，故 A 点处压力角为 0。
啮合线与啮合角
Study Notes 95 / 344 先看条件，再套公式

机械设计基础 课堂笔记
• 啮合线：与两个基圆相切的内公切线 N1N2，所有啮合点均位于这条线上
• 啮合角： 过节点C 作两个节圆的公切线 TT，TT 与啮合线 N1N2 之间的夹角， 用
α’ 表示
• 啮合线 N1N2 固定不变，故啮合角大小也不变
渐开线齿轮的可分性
• 当一对渐开线齿轮制成后，基圆半径不变
• 若中心距发生微小变化，传动比仍保持不变（仍等于基圆半径之比）
• 中心距变化时，节点位置改变，但基圆半径不变，传动比不变
定义
可分性：一对渐开线齿轮制成后，中心距稍有变化时，其传动比不发生变化的
性质。
Study Notes 96 / 344 先看条件，再套公式

机械设计基础 课堂笔记
齿轮的基本圆
• 齿顶圆：齿顶端所确定的圆，用 da 表示
• 齿根圆：齿槽底部所确定的圆，用 df 表示
• 基圆：用 db 表示
齿槽宽与齿厚
• 齿槽：相邻两齿之间的空间
• 齿槽宽：齿槽对应的弧长，用 ek 表示，对应直径为 dk（任意向径对应的直径）
• 齿厚：齿在某一圆周上的弧长，用 Sk 表示
Study Notes 97 / 344 先看条件，再套公式

机械设计基础 课堂笔记
齿厚、齿槽宽与齿距
• 齿厚 Sk：任意直径 dk 的圆周上，轮齿两侧齿廓之间的弧长。
• 齿槽宽 ek：相邻两齿之间齿槽的弧长。
• 齿距 Pk：相邻两齿同侧齿廓之间的弧长。
• 三者关系：Pk = Sk + ek （任意圆上成立） 。
• 齿距与圆周长的关系：z × Pk = π × dk ，即 Pk = πdk / z 。
• 由于 π 是无理数，任意圆上的齿距 Pk 通常为无理数，计算不便。
分度圆
• 分度圆是齿轮中一个特殊圆，用 d（小写，无下标）表示。
• 特点：在分度圆上，齿厚 = 齿槽宽，且都等于齿距的一半。
• 分度圆上的齿距用 p 表示（无下标） ，是标准值。
• 齿轮一、齿轮二的分度圆直径分别记为 d1、d2。
Study Notes 98 / 344 先看条件，再套公式

机械设计基础 课堂笔记
齿顶高、齿根高与全齿高
• 齿顶高 ha：分度圆到齿顶圆之间的径向距离。
• 齿根高 hf：分度圆到齿根圆之间的径向距离。
• 全齿高 h：h = ha + hf 。
顶隙
定义
一对齿轮啮合时，一个齿轮的齿顶圆到另一个齿轮的齿根圆之间的径向距离，
称为顶隙（用 c 表示） 。
• 顶隙的作用：容纳润滑油，避免两齿轮齿顶与齿根直接接触。
Study Notes 99 / 344 先看条件，再套公式

机械设计基础 课堂笔记
模数
定义
模数 m = p / π ，其中 p 是分度圆上的齿距。模数是分度圆上齿距与 π 的比值，
是齿轮尺寸计算的核心参数。
• 模数 m 为标准值，单位 mm，分第一系列和第二系列。
• 设计时优先选用第一系列（优选系列） ，尽量不选第二系列。
• 引入模数的原因：任意圆上的齿距含无理数 π，计算不便；取分度圆上p/π 作为
标准值，使计算简化。
压力角
• 压力角 α：指分度圆上的压力角（无下标） ，是标准值。
• 任意圆上的压力角记为 αk（带下标 k） 。
• 标准值：20° 或 15°，国内一般取 20°。
Study Notes 100 / 344 先看条件，再套公式

下一段