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机械设计基础：第 101–110 页

机械设计基础 课堂笔记
分度圆直径公式
注意
分度圆直径 d = m × z 是直齿轮最核心、最常用的公式，必须牢记。后续强度
计算中大量公式都以此为基础。
• 推导：d = (p/π) × z = m × z 。
• 适用于标准直齿轮。
齿顶高系数与顶隙系数
• 齿顶高系数 ha*：标准值，正常齿取 1。
• 顶隙系数 c*：标准值，正常齿取 0.25。
• 短齿的系数与正常齿不同，但短齿使用较少，重点掌握正常齿。
注意
正常齿的齿顶高系数 = 1，顶隙系数 = 0.25，这是齿轮常识，必须记住。
齿顶圆与齿根圆直径
• 齿顶圆直径：da = d + 2ha = d + 2ha* × m = m(z + 2ha*)
• 齿根圆直径：df = d - 2hf = d - 2(ha* + c*) × m = m(z - 2ha* - 2c*)
• 齿顶高：ha = ha* × m
• 齿根高：hf = (ha* + c*) × m
例
正常齿标准直齿轮，ha=1，c=0.25，则：
• da = m(z + 2)
• df = m(z - 2.5)
基圆直径
• 基圆直径与分度圆直径的关系：db = d × cos α
• 推导依据：压力角的定义（分度圆上压力角为 α，无下标） 。
• 齿轮一、齿轮二分别记为 db1、db2。
注意
基圆直径公式 db = d ·cosα 来源于压力角定义，是理解渐开线齿轮几何关系的
关键，不要死记，要理解其来源。
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标准齿轮的定义
定义
模数、分度圆压力角、齿顶高系数、顶隙系数均为标准值，且分度圆上齿厚 =
齿槽宽 = 齿距一半的齿轮，称为标准齿轮。
• 标准齿轮分度圆上：齿厚 = 齿槽宽 = p/2 = πm/2 。
渐开线齿轮正确啮合的条件
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• 一对渐开线齿轮传动时，啮合点始终在啮合线（N1N2 连线）上。
• 前一对齿在 K 点接触时，后一对齿在 K1’ 点进入啮合。
• 为保证连续正确啮合，齿轮一沿公法线的距离 K1K1’ 必须等于齿轮二沿公法线
的距离 K2K2’。
推导过程：
• 对从动轮（齿轮二） ：K2K2' = N2K1' - N2K
• 由渐开线性质（渐开线上滚过的弧长等于对应线段长） ：
– N2K1' = N2i （弧长）
– N2K = N2j （弧长）
• 两弧长相减得 ij 弧长，即基圆上的齿距 pb2。
• pb2 = πdb2 / z2 = π(d2 ·cosα2) / z2 = p2 ·cosα2 = πm2 ·cosα2
• 同理，主动轮（齿轮一） ：K1K1' = πm1 ·cosα1
• 令 K1K1' = K2K2' ，得：m1·cosα1 = m2 ·cosα2
定义
渐开线直齿轮正确啮合的条件：两齿轮分度圆上的模数相等，且分度圆上的压
力角相等，即 m1 = m2 ，α1 = α2 。
注意
正确啮合条件必须同时满足模数相等和压力角相等，二者缺一不可。单纯模数
相等或单纯压力角相等都不正确。
• 本质：两齿轮基圆上的齿距相等（pb1 = pb2） ，进而推出分度圆上模数和压力角
相等。
• 实际应用中，一对啮合齿轮的模数和压力角通常直接给定，无需分别标注 m1、
m2。
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标准齿轮的中心距
• 中心距等于两节圆半径之和，也等于两分度圆半径之和。
• 标准安装时：a = (d1 + d2)/2 = m(z1 + z2)/2
注意
中心距公式 a = m(z1 + z2)/2 是标准齿轮安装的重要公式，需重点掌握。
10 月 09 日
渐开线齿轮啮合的基本定律
• 齿轮啮合要保证传动比是一个准确值，这是正齿轮啮合的基本条件
• 满足传动比为准确值的齿廓有多种，最常用的是渐开线齿廓
• 齿廓啮合基本定律：两齿轮啮合时，其中心线与公法线的交点应为一个定点
渐开线齿轮正确啮合的条件
• 正确啮合的本质：两齿轮的法向齿距（反向齿距）相等
• 标准渐开线直齿轮正确啮合条件：两齿轮分度圆上的模数相等，且分度圆上的
压力角相等
• 斜齿轮的正确啮合条件与直齿轮有所不同
渐开线齿轮的传动比
• 传动比等于两齿轮齿数的反比：i = ω1/ω2 = z2/z1
• 传动比也等于节圆直径 （或半径）之比、 基圆直径 （或半径）之比、 分度圆直径
之比
• 分度圆直径公式：d = m ·z（标准渐开线直齿轮）
定义
分度圆直径：d = m ·z，其中 m 为模数，z 为齿数。这是渐开线齿轮最基本的
公式之一。
标准齿轮的基本参数
• 齿厚 s、齿槽宽 e、齿距 p 的关系：s + e = p
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• 标准齿轮在分度圆上齿厚与齿槽宽相等：s = e = 1/2 ·πm
• 齿距 p = πm ，模数 m = p/π
• 模数 m 是一个标准值
注意
模数 m 是标准值，不是任意取的。齿距 p = πm 是在定义模数时确定的， m =
p/π。
标准中心距
• 标准中心距等于两节圆半径之和
• 标准齿轮啮合时节圆与分度圆重合，因此也等于两分度圆半径之和
注意
节圆和啮合角只在两齿轮相互啮合时才存在；单个齿轮只有分度圆和压力角。
齿轮做好后分度圆和压力角是定好的，但节圆和啮合角要等它和另一个齿轮啮
合时才能确定。
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渐开线齿轮连续传动的条件（重合度）
• 实际啮合线为 B1B2，理论啮合线为 N1N2（两基圆的内公切线，也是啮合点处
的公法线）
• 啮合起点 B2：从动轮齿顶圆与啮合线的交点
• 啮合终点 B1：主动轮齿顶圆与啮合线的交点
• 实际啮合线长度 B1B2 应大于法向齿距（基圆齿距）Pb
定义
重合度 ε：实际啮合线长度 B1B2 与基圆齿距 Pb 的比值，即 ε = B1B2 / Pb 。
注意
连续传动的条件是重合度 ε ≥ 1 。ε = 1 时一对齿轮退出啮合、另一对刚好进入
啮合；ε > 1 时一对齿轮尚未退出、另一对已进入啮合，传动更平稳。
齿轮加工方法分类
• 按成型原理分为两大类：仿形法和范成法
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仿形法
• 用圆盘铣刀或指状铣刀在铣床上加工
• 加工不连续，一个齿一个齿地切，生产效率较低
• 圆盘铣刀和指状铣刀都属于仿形法
例
圆盘铣刀加工齿轮时， 刀具是一个齿一个齿地切削轮坯； 指状铣刀同样如此， 因
此两种仿形法效率都较低。
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范成法
• 利用一对齿轮（或齿轮与齿条）相互啮合时，其共轭齿廓互为包络线的原理来
切齿
• 将其中一个齿轮做成刀具，即可切出与其共轭的渐开线齿廓
• 应用最广泛，包括插齿、滚齿、剃齿、磨齿等方法
• 剃齿和磨齿用于精度和光洁度要求较高的场合
定义
范成法：利用一对齿轮或齿轮与齿条相互啮合时，其共轭齿廓互为包络线的原
理来切齿。加工一个齿轮时，相当于一对齿轮在啮合，其中一个齿轮做成刀具
去加工另一个齿轮。
插齿
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• 插齿刀形状与齿轮相似，其分度圆上的模数和压力角与被加工齿轮相同
• 插齿刀沿轮坯轴线方向做上下往复切削运动
• 机床传动系统严格保证插齿刀与轮坯之间有范成运动（共轭齿廓啮合）
• 加工过程中有进刀和退刀过程
注意
同一把插齿刀可以加工出不同齿数的齿轮，但加工出的齿轮分度圆上的模数和
压力角一定相同。通过改变传动比（i = z2/z1 ）即可改变被加工齿轮的齿数。
滚齿
• 滚刀外形类似沿纵向开了槽的螺旋，其轴向剖面齿形与齿条相同
• 滚齿过程类似于齿条与齿轮的啮合
• 滚刀和轮坯都在旋转，加工是连续的，因此效率较高
• 滚齿应用非常广泛
例
滚齿加工中，滚刀相当于齿条，轮坯相当于齿轮，二者之间类似于齿轮与齿条
的啮合，通过范成原理将轮坯加工成渐开线齿廓。
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剃齿与磨齿
• 剃齿、磨齿用于精度和光洁度要求较高的场合
• 磨齿有成型磨床（仿形法磨削）和范成法磨齿（如双磨轮磨齿机）
• 精加工可使齿轮精度等级提高 1∼2 级以上
• 齿轮加工过程中需要使用切削液（清洗液）
根切现象
• 用范成法加工齿轮时，若齿数太少，齿根部位的渐开线齿廓会被切掉一部分
• 齿根被切掉一部分后，不再是完整的渐开线齿廓，会影响后续啮合
• 根切现象是不允许发生的
定义
根切：用范成法加工齿轮时，若齿数过少，刀具将齿根部位的渐开线齿廓切去
一部分的现象。
注意
不发生根切的最小齿数为 17（针对正常齿，齿顶高系数 ha* = 1 ） 。齿顶高系数
有两种：正常齿为 1，短齿为 0.8。
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