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机械设计基础：第 131–140 页

机械设计基础 课堂笔记
书上特定材料的接触应力公式（6.29）
• 教材 92 页公式 6.29 是针对特定材料属性给出的非通用公式。
• 公式中的系数 335 是有条件的，仅适用于特定材料组合（钢对钢等） 。
• 通用公式中该系数用弹性影响系数 ZE 表示，未写成具体数值。
注意
公式 6.29 中的 335 是特定材料下的值，不是通用常数。材料变化时该系数会改
变。
材料变化时系数的调整
• 当齿轮材料为钢对铸铁或铸铁对铸铁时，系数 335 不再适用。
• 此时系数变为 285 或 250，具体取决于材料组合。
• 实际使用中，齿轮材料多为钢、铸铁，需根据材料选择对应系数。
例
钢对钢：系数 335；钢对铸铁：系数 285；铸铁对铸铁：系数 250。
许用接触应力
• 许用接触应力 [σH] 与极限接触疲劳应力和安全系数有关。
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机械设计基础 课堂笔记
• 安全系数可查表得到，极限接触疲劳应力可参考教材。
注意
一对齿轮啮合时，两齿轮的接触应力 σH1 和 σH2 大小相等（作用力与反作用
力） ，但许用接触应力[σH1] 和 [σH2] 因材料不同而不相等。
齿数的选择
• 齿数与齿面硬度有关：
– 闭式软齿面：易发生点蚀，按齿面接触疲劳强度计算、齿根弯曲疲劳强度校
核。在满足弯曲强度条件下，小齿轮齿数 z₁ 一般取 20∼40，速度较高时可
取稍大值。
– 硬齿面：易发生轮齿折断，弯曲强度较薄弱，齿数一般取较少。
• 模数 m 是表征弯曲强度的重要参数，希望模数大、 齿数小以更好满足弯曲强度。
注意
软齿面按接触强度设计、弯曲强度校核；硬齿面弯曲强度薄弱，齿数取少、模
数取大。
齿数互质
• z₁ 和 z₂ 应尽量互质。
• 目的：使一对啮合齿轮磨损均匀、传动平稳。
• 若 z₁ 与 z₂ 不互质，小齿轮的某个齿总是与大齿轮的固定几个齿啮合，磨损
集中；互质后小齿轮每个齿会与大齿轮更多齿啮合，磨损更均匀。
例
设计传动比 i=5， 取z₁=21， 则z₂=105（不互质） 。 设计时应取z₂=104 或 106，
使 z₁ 与 z₂ 互质。 此时传动比略有偏差， 但传动比误差在±3% 范围内即认为
合格。
注意
取互质齿数后传动比会略有偏差，但误差在 ±3% 以内即符合设计要求。
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齿宽系数
• 齿宽系数 φa = b / a （齿宽 b 除以中心距 a） 。
• 齿宽越宽，承载能力越高；但齿宽过宽会导致载荷分布不均匀。
• 设计时需平衡承载能力与载荷均匀性，用齿宽系数约束齿宽。
• 齿宽系数 φa 根据减速器类型（轻型、重型）给出参考范围。
定义
齿宽系数 φa = b / a ，用于约束齿宽，平衡承载能力与载荷分布均匀性。
齿宽的计算与取值
• 设计时先初选齿宽系数 φa，代入计算得到中心距 a。
• 中心距 a 在计算值基础上需取整。
• 由 a 计算齿宽 b = φa × a ，作为 b₂ 的计算值，并取整。
• 小齿轮齿宽 b₁ 应比大齿轮齿宽 b₂ 大，一般取 b₁ = b₂ + (5∼10) mm 。
注意
中心距 a 和齿宽 b 都需在计算值基础上取整。
小齿轮齿宽大于大齿轮的原因
• 补偿安装误差，保证工作（接触）宽度 ：一对齿轮啮合时需保证足够的接触宽
度，一个宽一个窄可确保接触宽度充足。
• 减小加工量： 小齿轮尺寸小， 做宽一点加工量小； 大齿轮尺寸大， 做宽则加工量
大。教材只写了保证工作宽度，未写减小加工量，可作补充。
例
b₁ = b₂ + (5∼10) mm ，小齿轮齿宽略大于大齿轮，既保证接触宽度，又减小
大齿轮加工量。
受力分析小结
• 受力分析已在前面课程讲解，此处不展开。
• 弯曲应力计算针对模数 m；接触应力计算针对接触应力 σH。
• 接触应力公式分两类总结：左边为 通用公式，右边为特定材料下的公式 （如书
上 6.29） 。
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斜齿轮与直齿轮的齿廓形成
• 直齿轮齿廓为渐开线，渐开面由若干条渐开线组成。
• 渐开线齿廓的形成与渐开线形成原理有关：基圆柱上有基圆和一条 发生线，发
生线在基圆上做纯滚动，发生线上某一点的轨迹即为一条渐开线。
定义
渐开线： 发生线在基圆上做纯滚动时， 发生线上某一点的轨迹即为一条渐开线。
直齿轮齿廓由渐开线构成。
注意
斜齿轮与直齿轮的成型特性不同，斜齿轮齿廓形成将在后续内容讲解。
斜齿轮的齿廓形成
• 斜齿轮成型同样有发生面 S 和基圆柱，发生面在基圆柱上做纯滚动
• 直齿轮中，发生面上的直线 KK 与基圆柱母线 nn 平行
• 斜齿轮中，KK 与 nn 不再平行，而是成一定角度 βb（基圆柱上的螺旋角）
• KK 的轨迹构成斜齿渐开线齿廓
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定义
βb 为基圆柱上的螺旋角，下标 b 表示基圆。
直齿轮与斜齿轮的啮合特点对比
• 直齿轮：接触线与轴线平行，沿齿宽同时进入/退出啮合，易引起冲击，一般不
用在高速级
• 斜齿轮：接触线长度由小变大、 再变小，逐渐进入啮合，传动平稳、 噪音小，适
用于高速级
注意
直齿轮接触线沿齿宽同时进入和退出啮合，冲击大；斜齿轮接触线逐渐进入啮
合，传动平稳，故高速级应选用斜齿轮。
斜齿轮的端面与法面
• 斜齿轮有端面和法面两个参考平面
• 端面：垂直于斜齿轮轴线的平面（图中 abd）
• 法面：与分度圆柱螺旋线垂直的平面（图中 a1b1d）
定义
端面：垂直于斜齿轮轴线的平面。法面：与分度圆柱螺旋线垂直的平面。
端面与法面压力角的关系
• 端面内：tanαt = Bd / ab
• 法面内：tanαn = Bd / a1b1
• 由几何关系 b1d = bd ·cosβ，且 ab = a1b1 ，联立可得：
定义
tanαn = tanαt ·cosβ 其中 αn 为法面压力角，αt 为端面压力角，β 为分度圆上的
螺旋角。
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端面与法面模数的关系
• 齿距 p = πm ，故端面齿距 pt = π ·mt，法面齿距 pn = π ·mn
• 由 pt = pn / cosβ ，可得：
定义
mt = mn / cosβ 即端面模数等于法面模数除以 cosβ。
注意
法面内的模数 mn 和压力角 αn 是标准值（因加工时刀刃位于法面内） ，端面模
数 mt 和端面压力角 αt 为非标准值，需通过换算得到。
斜齿轮正确啮合条件（外啮合）
• 法面内的模数相等：mn1 = mn2
• 法面内的压力角相等：αn1 = αn2
• 分度圆上的螺旋角大小相等、方向相反：β1 = -β2
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注意
前两点与直齿轮正确啮合条件（分度圆模数、压力角相等）相对应，但斜齿轮
用的是法面参数。第三点是斜齿轮特有：外啮合时两轮旋向相反（一左旋一右
旋） 。
斜齿轮的尺寸计算
• 在端面内按直齿轮计算，分度圆直径 d = mt ·z
• 将 mt = mn / cosβ 代入，得：
定义
d = mn ·z / cosβ 其中 mn 为标准值，z 为实际齿数，β 为分度圆螺旋角。
• 齿顶高、齿根高、齿顶圆系数与直齿轮相同
• 中心距因分度圆直径含 β，也随 β 变化
当量齿数
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• 目的：研究斜齿轮法面内的齿形，用于选择铣刀及计算齿形系数
• 方法：过斜齿轮分度圆柱上 c 点作轮齿螺旋线的法面 nn，与分度圆柱交线为椭
圆
• 椭圆长半轴 a = d / (2cosβ) ，短半轴 b = d/2
• 在 c 点处曲率半径 ρ = a²/b = d / (2cos²β)
• 假想一个直齿轮，其模数为 mn、分度圆半径为 ρ，齿形与斜齿轮法面齿形一致，
该直齿轮齿数即为当量齿数
定义
当量齿数 zv = z / cos³β 其中 z 为斜齿轮实际齿数，β 为分度圆螺旋角。
注意
当量齿数 zv 总是大于实际齿数 z， 且由于除以cos³β，zv 通常为小数。 计算斜齿
轮齿形系数、判断是否根切（最小齿数）时，均需用当量齿数 zv。
斜齿轮的受力分析
• 忽略摩擦力，斜齿轮所受初始力为法向力 Fn
• 与直齿轮相比，斜齿轮多了一个轴向力 Fa
• 圆周力 Ft 与直齿轮相同：Ft = 2T1 / d1 （d1 为分度圆直径）
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• 法向力 Fn 在切平面内的投影为 F′，F′ = Ft / cosβ
• 径向力 Fr 在法平面内，Fr = F′ ·cosαn
例
受力分解关系：
• F′ = Ft / cosβ （切平面内，F′ 为斜边，Ft 为直角边）
• Fr = F′ ·cosαn（法平面内，Fn 为斜边，F′、Fr 为直角边）
注意
斜齿轮比直齿轮多一个轴向力 Fa，这是斜齿轮受力分析的关键区别。直齿轮只
分解为 Ft 和 Fr，斜齿轮需分解为 Ft、Fr、Fa 三个力。
斜齿轮受力分析——力的分解与大小
• 斜齿轮的圆周力 Ft、径向力 Fr 与直齿轮相同，作用点均在齿宽中点
• 轴向力 Fa 位于切平面内，与 Ft 构成直角三角形，夹角为螺旋角 β
• 法向力 Fn 位于法平面内，等于 F’ 除以 cos αn（αn 为法面压力角）
• 各力大小关系：Fa = Ft ·tan β
定义
斜齿轮的轴向力 Fa 是圆周力 Ft 在切平面内沿轴线方向的分量，其大小满足 Fa
= Ft ·tan β，其中 β 为分度圆螺旋角。
斜齿轮轴向力 Fa 的方向判定——左右手螺旋规则
• Fa 的判定必须使用左手或右手螺旋规则，且只能在主动轮上判定
• 四指表示齿轮转向，拇指表示 Fa 的方向
• 主动轮为左旋用左手，右旋用右手
• 从动轮的 Fa 不能用左右手规则，而应通过作用力与反作用力（ Fa2 = -Fa1 ）判
定
注意
判定 Fa 时一定要分清主动轮和从动轮。 若在从动轮上使用左右手规则， 分析结
果会恰好相反。这是初学者最容易忽略的错误。
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斜齿轮旋向（左旋/右旋）的判定
• 判定旋向必须沿轴线方向观察齿轮
• 沿轴线方向看，右边高为右旋，左边高为左旋
• 齿轮旋转 90° 后旋向不变（旋向是齿轮的固有属性）
• 若观察角度别扭，可将整个图旋转 90° 再沿轴线方向看
例
沿轴线方向看， 若齿轮齿向倾斜方向为” 左边低、 右边高”， 则该齿轮为右旋， 判
定 Fa 时用右手螺旋。
斜齿轮传动中主动轮与从动轮的力方向
• 主动轮与从动轮的 Ft 方向相反（主反从同，均沿啮合点处速度方向）
• 主动轮 Ft 与啮合点处速度方向相反，从动轮 Ft 与速度方向相同
• Fr 各自指向轮心
• Fa1 与 Fa2 大小相等、方向相反（Fa2 = -Fa1 ）
注意
所有力（Ft、Fr、Fa）都应画在啮合点位置，而不是齿轮中心。
斜齿轮强度计算
• 弯曲强度：涉及齿形系数，齿形系数与当量齿数 z 有关，可据此计算法向模数
• 接触强度：书中给出系数 305（针对特定材料性质） ，与直齿轮类似
• 螺旋角 β 的设计：先初选螺旋角 → 计算中心距和模数 → 模数取标准值、中心
距取整 → 对 β 角进一步修正
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