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机械设计基础：第 161–170 页

机械设计基础 课堂笔记
• 题目涉及 8 个齿轮、4 对啮合：两对蜗杆传动、一对斜齿轮传动、一对锥齿轮传
动，涵盖全部已讲内容。
• 分析步骤要点：
– 先分清主动与从动：蜗杆 1 为主动，传动从 1 向后传递（1→2，3→4，5→6，
7→8） 。
– 同轴关系：6 和 7 同轴，4 和 5 同轴，2 和 3 同轴。
– 蜗杆的轴向力与蜗轮的圆周力大小相等、方向相反。
– 轴向力一定沿轴线方向：4、5 的轴向力沿水平方向；6、7 的轴向力沿竖直方
向。
注意
6 放在前面、5 放在后面，6 与 5 的啮合位置在 6 的后面（不在前面） 。在啮合点
处，6 的速度方向为水平向右，故 ft6 水平向右，fa5 水平向左。这是最易混淆
的点。
• 旋向判定规则：旋向必须在主动轮 （蜗杆）上判定，不能在从动轮 （蜗轮）上判
定。
• 蜗杆与蜗轮的旋向相同。
例
分析过程示例：
• 7 水平向左 → 6 水平向左（同轴） 。
• 6 在啮合点处速度水平向右 → ft6 水平向右 → fa5 水平向左。
• fa5 水平向左 → fa4 水平向右 → fa3 水平向左 → fa2 水平向右。
• 7 的轴向力竖直向下 → fa6 竖直向上 → ft5 竖直向下 → n5 向上 → n4 向上
→ n3 向下 → n2 向下。
• 由 n1 的转向（顺时针）与 fa1 方向（指向观察者） ，判定1 为左旋，2 也为
左旋。
• 由 5 的转向（向上）与 fa5 方向（水平向左） ，判定5 为右旋，6 也为右旋。
• 由 3 的轴向力（水平向左）与转向（向下） ，判定3 为左旋，4 也为左旋。
注意
分析时须写清每个箭头代表的是 n（转速） 、fa（轴向力） 、ft（圆周力）还是 fr
（径向力） ，避免混淆。判断转向时，从动轮在啮合点处的速度方向决定其转向。
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机械设计基础 课堂笔记
10 月 16 日
齿轮传动综合受力分析回顾
• 上节课内容：斜齿轮、锥齿轮、蜗杆蜗轮传动的受力、转向、旋向分析
• 综合题目中共有 4 对齿轮啮合：
– 1 和 2：蜗杆蜗轮传动
– 3 和 4：斜齿轮传动
– 5 和 6：蜗杆蜗轮传动
– 7 和 8：锥齿轮传动
• 主动轮判定：必须针对” 哪两个齿轮在啮合” 来判断，不能笼统说某根轴上的轮
是主动还是从动
– 本例中蜗杆 1 为主动，则 1-2 啮合时 1 主动；3-4 啮合时 3 主动；5-6 啮合时 5
主动；7-8 啮合时 7 主动
– 同一根轴（如 2 和 3 所在轴）上，2 是从动轮，3 是主动轮
注意
主动轮与从动轮是相对于” 某一对啮合” 而言的。同一根轴上的两个齿轮，可能
一个是从动、一个是主动，不能笼统说整根轴是主动还是从动。
旋向的判定
• 判定方法：沿轴线方向观察齿轮的斜线
• 左边高为左旋，右边高为右旋
齿轮受力的三个分力
• 将法向力 Fn 分解为三个分力：
– Ft：圆周力
– Fr：径向力
– Fa：轴向力
定义
齿轮啮合时的法向力 Fn 可分解为三个相互垂直的分力：圆周力 Ft（沿圆周切
向） 、径向力Fr（沿半径方向指向轮心） 、轴向力Fa（沿轴线方向） 。
三个分力的判定方法
• Ft（圆周力）判定：4 个字——“左反右同”
• Fr（径向力）判定：4 个字——“指向轮心”
• Fa（轴向力） 判定： 用左手或右手定则， 取决于齿轮是左旋还是右旋， 以及转向
n
注意
Fa（轴向力） 的左右手定则判定只能在主动轮上使用。 从动轮上的Fa 不能直接
用左右手定则判定。
从动轮轴向力的判定
• 斜齿轮：从动轮上的 Fa 与主动轮上的 Fa 大小相等、方向相反
• 锥齿轮：主动轮上的 Fa 与从动轮上的径向力 Fr 大小相等、方向相反
• 蜗杆蜗轮传动： 主动轮 （蜗杆） 上的Fa 与涡轮上的圆周力 Ft 大小相等、 方向相
反
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机械设计基础 课堂笔记
注意
对于锥齿轮和蜗杆蜗轮传动， 主动轮与从动轮的Fa 并不是简单的大小相等、 方
向相反，需要按上述对应关系分别判定。
轮系的引入背景
• 渐开线齿轮传动比：i = n1/n2 = z2/z1 （齿数反比）
• 若只用一对齿轮实现较大传动比，会带来问题：
– 大齿轮做得很大、小齿轮很小，直径悬殊
– 小齿轮齿数少，参与啮合次数多，容易磨损
• 解决方案：采用多级齿轮，用一系列齿轮组构成机构，即” 轮系”
定义
轮系：由一系列齿轮（含蜗杆蜗轮等）组成的齿轮传动机构，用于实现较大传
动比、变速、换向等功能。
例
发射导弹时的快速反应装置就是轮系的应用实例；上节课分析的 4 对齿轮传动
综合题本身也是一个轮系。
轮系的分类
• 轮系分为两大类基本类型，第三类为前两类的组合：
– 定轴轮系
– 周转轮系
– 混合轮系（定轴轮系与周转轮系的组合）
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机械设计基础 课堂笔记
定轴轮系
定义
定轴轮系：轮系中所有齿轮的几何轴线都是固定不动的。
• 示例轮系中有 4 对齿轮啮合：
– 1 和 2：外啮合
– 2’ 和 3：内啮合
– 3’ 和 4：外啮合
– 4 和 5：外啮合
• 齿轮 2 和 2’ 在同一根轴上，转速相同，属于同一构件
• 齿轮 3 和 3’ 在同一根轴上，转速相同，属于同一构件
注意
同一轴线上的齿轮不一定是同一构件。例如定轴轮系中齿轮 1 和 3 虽然轴线相
同，但转速不同，不是同一构件。判断是否为同一构件要看是否装在同一根轴
上、转速是否相同。
• 定轴轮系的其他实例：锥齿轮驱动蜗杆、蜗杆驱动涡轮的减速装置，各齿轮轴
线均固定。
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周转轮系
定义
周转轮系：轮系中至少有一个齿轮的几何轴线是绕着另一个齿轮的几何轴线转
动的。
• 关键特征：某个齿轮的轴线本身在旋转，绕着一个固定的几何轴线转动
• 周转轮系中的核心构件：
– 系杆：绕固定轴线转动的那个几何轴线
– 行星轮：由系杆支持、几何轴线随系杆转动的齿轮
– 中心轮：与行星轮相啮合、轴线固定不动的齿轮
例
周转轮系中，系杆支持的两个齿轮为行星轮，与行星轮啮合的两个齿轮为中心
轮。其中一个中心轮可能做成齿轮形状但固定不动，相当于机架。
识别周转轮系的三步走
1. 找系杆：系杆是绕着一个固定的几何轴线（机架）转动的轴线
2. 找行星轮：系杆所支持的齿轮即为行星轮
3. 找中心轮：与行星轮相啮合的齿轮即为中心轮
注意
识别轮系类型是计算传动比的前提。必须先分清是定轴轮系还是周转轮系，才
能进行后续的传动比计算。
• 示例（内啮合行星轮系） ：系杆h 绕机架转动，支持齿轮 2 和 2’（行星轮，同一
构件、转速相同） ；与2 啮合的中心轮为 1，与 2’ 啮合的中心轮为 3。
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混合轮系
定义
混合轮系：由几个周转轮系，或由定轴轮系与周转轮系组合而成的轮系。
• 混合轮系的组成方式：
– 两个以上周转轮系组合
– 定轴轮系 + 周转轮系
– 一个定轴轮系 + 两个周转轮系，或一个定轴轮系 + 一个周转轮系
混合轮系实例分析（课本 7.3 图）
• 该轮系共有 4 对齿轮啮合：
– 1 和 2：外啮合
– 2’ 和 3：内啮合
– 3’ 和 4：外啮合
– 4 和 5：内啮合
• 系杆为 H，且 H 就是齿轮 5 本身
• 齿轮 5 绕机架（固定轴线）转动，充当系杆
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机械设计基础 课堂笔记
• 齿轮 2 和 2’ 的轴线不固定，绕齿轮 5 的几何轴线转动
注意
系杆不一定是一个独立的杆件，也可以由某个齿轮直接充当（如本例中齿轮 5
就是系杆） 。齿轮3’ 与齿轮 5 的轴线共线，但二者不是同一构件。
齿轮 5 的几何轴线与半径关系
• 齿轮 5 是内齿轮，与齿轮 4 内啮合，其几何轴线位于图示固定位置
• 齿轮 5 的分度圆直径从内齿一侧到另一侧，需明确其轴线位置
• 齿轮 5 的半径与齿轮 3、4 的尺寸关系：
– r5 = d4 + r3’ （即一个 d4 加一个 r3’）
– 用直径表示：d5 = 2 分之 d3 + d4 （两个 d4 加一个 d3）
• 课堂练习中常要求计算系杆的回转半径，它与各齿轮半径/直径相关
注意
齿轮 5 是内齿轮，其轴线位置与普通外齿轮不同，计算半径关系时不要混淆内
啮合与外啮合的尺寸关系。
混合轮系的识别方法
• 分析轮系时，首先寻找是否存在系杆（H） ，判断有无周转轮系
• 系杆支持的齿轮为行星轮（如 2、2’） ，与行星轮啮合的是中心轮（如1、3）
• 若某组齿轮的几何轴线均固定不动，则它们构成定轴轮系
• 整个轮系中既有定轴轮系又有周转轮系，即为混合轮系
• 题目中通常不会标注” 混合轮系”，有时连 H 也不标出，需自行判断
注意
齿轮 3 和 3’ 是同一构件，可写成 3 和 3’，也可直接写 3。识别轮系时不要因写
法不同而误判为两个独立齿轮。
混合轮系的组成示例
• 周转轮系部分：H（系杆） 、1 和 2（中心轮）
• 定轴轮系部分：3’、4、5（几何轴线均固定）
• 中心轮中，有的中心轮（如大齿轮）固定不动，本身也是机架
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传动比的正负号与转向
• 一对齿轮啮合的传动比 = 转速比 = 角速度比 = 齿数比
• 外啮合：两齿轮转向相反，传动比为负
• 内啮合：两齿轮转向相同，传动比为正
• 转向可用箭头（上下左右）表示
注意
传动比的正负号由啮合方式决定： 外啮合取负， 内啮合取正。 不要漏掉符号， 否
则转向判断错误。
定轴轮系传动比计算
• 定轴轮系传动比：i1n = n1/nn = (-1)^m × ( 所有从动齿轮齿数乘积) / ( 所有主动
齿轮齿数乘积)
• 推导思路： 将各对啮合齿轮的传动比 （n1/n2、n2/n3⋯⋯nn-1/nn） 逐项列出， 约
分后仍为 n1/nn
• 每对啮合的传动比等于从动轮齿数比主动轮齿数（如 n1/n2 = z2/z1 ）
• 分子为所有从动齿轮齿数乘积，分母为所有主动齿轮齿数乘积
• m 表示外啮合的次数（外啮合传动比为负，内啮合为正）
Study Notes 168 / 344 先看条件，再套公式

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定义
定轴轮系传动比公式：i1n = (-1)^m × ( 各从动轮齿数连乘积) / (各主动轮齿数连
乘积)，其中 m 为外啮合次数。
定轴轮系传动比计算示例
• 齿轮 1 与 2 啮合：传动比 = z2/z1
• 齿轮 2’ 与 3 啮合：传动比 = z3/z2’
• 齿轮 3’ 与 4 啮合：传动比 = z4/z3’
• 齿轮 4 与 5 啮合：传动比 = z5/z4
• 将各对啮合传动比相乘，得到总传动比
• 若 n1 为负值，则计算结果为负
注意
判断主动轮与从动轮时，要看传动方向：从主动端往从动端传递，同一齿轮在
不同啮合对中可能既作主动又作从动。
惰轮的作用
Study Notes 169 / 344 先看条件，再套公式

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• 惰轮（如齿轮 4）不改变整个轮系的传动比大小，其齿数在计算中可约去
• 惰轮可以改变齿轮的转向
• 惰轮可以改变齿轮的排列位置和中心距
例
若齿轮 3’ 与 5 直接啮合，5 的转向向下；加入惰轮 4 后，5 的转向改变。惰轮 4
的齿数未给出，因为计算传动比时它被约掉了。
周转轮系自由度计算
• 周转轮系中，系杆 H 是活动构件（绕固定轴线转动） ，计算自由度时必须计入
• 自由度计算公式：F = 3n - 2PL - PH
– n：活动构件数
– PL：低副数
– PH：高副数
• 图 a 中：n = ？ ，低副= ？ ，高副= ？ （需根据具体图计算）
注意
计算自由度时，系杆 H 是活动构件，不要遗漏。这是周转轮系自由度计算中常
见的易错点。
周转轮系自由度的计算（a 图）
• 周转轮系中活动构件数 n、低副数 pl、高副数 ph 需逐一数清
• 以细杆 + 齿轮 1+ 齿轮 2+ 齿轮 3 为例：n=4，pl=4，ph=2
• 自由度公式：F = 3n − 2pl − ph
• 代入得 F = 3×4 − 2×4 − 2 = 2
定义
周转轮系：至少有一个齿轮的轴线绕另一固定轴线转动的轮系，其行星轮由细
杆（转臂/系杆）支承。
周转轮系自由度的计算（b 图，齿轮 3 为机架）
• 与 a 图的区别：齿轮 3 固定为机架，转速为 0，不再是活动构件
• 活动构件 n=3，低副 pl=3，高副 ph=2（齿轮 2 与 1、齿轮 2 与 3 的啮合仍存在）
• 自由度 F = 3×3 − 2×3 − 2 = 1
注意
判断机架时，要看构件是否固定不动（转速为 0） 。齿轮3 在 b 图中是机架，因
此不计入活动构件，但它的啮合高副仍然存在，不能漏算。
Study Notes 170 / 344 先看条件，再套公式

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