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安全系统工程：第 121–130 页

安全系统工程 课堂笔记
注意
有些原因可以不予考虑， 例如龙卷风导致家庭火灾爆炸这类可能性极小的因素，
属于预先排除的范围。
事故树的基本符号
• 事件符号：圆形符号表示基本事件，矩形符号表示顶上事件或中间事件
• 逻辑门符号：与门、或门、条件门、表决门、非门等
• 管理符号：用于表示转移等
注意
逻辑门中，与门和或门是计算题中一定会用到的，必须掌握。条件门、表决门、
非门等特殊情况也要了解。表决门需明确什么情况下与门、什么情况下过门。
事故树的编制
• 由较多人员构成：系统设计人员、操作人员、符合性培训人员、管理人员等
• 可采用人工编制和计算机编制
• 编制过程需循序渐进，遵循基本编制原则
编制基本原则
1. 风险大的作为顶上事件（风险大 = 容易发生 + 后果严重）
2. 合理确定边界条件
3. 准确描述事件
4. 提出改进建议
5. 中间事件必须有一定的时间采取相应措施
事故树的定性分析
• 定性分析包括：最小割集、最小径集、结构重要度
• 结构重要度：在已知系统树的基本逻辑关系和因果关系基础上，分析每个基本
事件的重要程度
• 定性分析首先需要弄清楚布尔代数的分析过程
定义
结构重要度：不考虑基本事件发生概率，仅从系统树的结构（逻辑关系）出发，
分析各基本事件对顶上事件影响程度的大小。
逻辑运算基础
• 逻辑变量取值只有 0 和 1，分别代表事件不发生与发生
• 三种基本逻辑运算：逻辑或（+） 、逻辑与（ · ） 、逻辑非（¬）
• 逻辑或：Z = A + B ，任一输入为 1 则输出为 1
• 逻辑与：Z = A ·B，所有输入为 1 才输出为 1
• 逻辑非：输入取反，如 ¬0 = 1 ，¬1 = 0
定义
逻辑或（OR） ：只要有一个输入为真，结果为真。逻辑与（AND） ：所有输入为
真，结果才为真。逻辑非（NOT） ：对输入取反。
Study Notes 121 / 194 先看条件，再套公式

安全系统工程 课堂笔记
逻辑代数基本定律
• 交换律：A + B = B + A ，A ·B = B ·A
• 结合律：(A + B) + C = A + (B + C) ，(A ·B) ·C = A ·(B ·C)
• 分配律：A ·(B + C) = A ·B + A ·C，A + B ·C = (A + B) ·(A + C)
• 同一律：A + 0 = A ，A ·1 = A
• 互补律：A + ¬A = 1 ，A ·¬A = 0
• 幂等律：A + A = A ，A ·A = A
• 吸收律：A + A ·B = A ，A ·(A + B) = A
• 双重否定律：¬(¬A) = A
• 德摩根定律：¬(A + B) = ¬A ·¬B，¬(A ·B) = ¬A + ¬B
注意
逻辑代数中的” 加” 和” 乘” 与普通代数不同：A + A = A （不是 2A） ，A ·A = A
（不是 A²） 。运算时务必按逻辑定律，不能套用普通代数规则。
事故树的化简
• 复杂事故树先写出布尔代数表达式，再按逻辑定律逐步化简
• 化简过程要严格按逻辑运算规则，一步步进行，不能跳步
• 化简到最简形式后，可画出等效事故树
• 化简结果用于后续的定量计算，若此处出错，后续量化计算（约 15 分）会连带
出错
例
展开 (A + B)(A + C) ：= A·A + A ·C + B ·A + B ·C = A + A ·C + A ·B + B ·
C = A + B ·C（利用吸收律化简）
割集的概念
• 凡是能导致顶上事件发生的基本事件的集合，称为割集
• 割集是系统发生故障的途径或模式
• 若割集中所有基本事件都发生，顶上事件必然发生
• 事故树中所有基本事件都发生时，顶上事件必然发生，但通常只需少数几个基
本事件发生即可导致顶上事件发生
定义
割集： 能导致顶上事件发生的基本事件的集合， 即系统发生故障的模式或途径。
最小割集的概念
• 割集的数目可能很多，内容上可能包含、重复或有多余事件，需要去除
• 除去多余事件后的割集称为最小割集
• 最小割集是能导致顶上事件发生的最低限度的基本事件集合，去掉其中任何一
个事件就不再是割集
定义
最小割集：能导致顶上事件发生的最低限度的基本事件的集合。去掉其中任一
基本事件，顶上事件就不再发生。
Study Notes 122 / 194 先看条件，再套公式

安全系统工程 课堂笔记
注意
割集与最小割集的区别： 割集可能包含多余事件， 最小割集不含任何多余事件。
化简事故树的目的就是找出最小割集，去掉冗余事件。
最小割集与系统危险性
• 事故树中有一个最小割集，顶上事件发生的可能就有一种途径
• 最小割集越多，顶上事件发生的可能途径越多，系统越危险
• 通过最小割集可找出控制事故的最佳途径 ——控制最少的基本事件即可防止顶
上事件发生
例
某等效事故树的最小割集为 {x1, x3}、{x3, x5}、{x3, x4}、{x1, x5}。只需控制 x3
和 x5 两个基本事件，即可防止顶上事件发生，这是控制事故的最佳途径。
集合的基本概念
• 集合：满足某种条件或具有某种属性的事物的全体
• 集合的每一个成员称为该集合的元素
• 割集中的每个基本事件就是该集合的一个元素
• 并集：把两个集合合在一起，对应逻辑” 或”
• 交集：两个集合的公共元素，对应逻辑” 与”
最小割集的求法
• 求最小割集有两种主要方法：布尔代数法和行列法
• 布尔代数法：先列出事故树的布尔代数表达式，用逻辑运算定律化简，最后得
到若干交集（每个交集即一个最小割集）
• 行列法：按行和列的方式逐层展开求最小割集
• 布尔代数法较为通用，是常用的求解方法
注意
行列法不是” 行列式法”，而是按行和列逐层展开的方法，两者不要混淆。
例
用布尔代数法求最小割集：设 T = A ·B，其中 A = x1 + x2 ，B = x3 + x4 ，则 T
= (x1 + x2)(x3 + x4) = x1 ·x3 + x1 ·x4 + x2 ·x3 + x2 ·x4，得到 4 个最小割集：
{x1, x3}、{x1, x4}、{x2, x3}、{x2, x4}。
求解最小割集的注意事项
• 化简过程较复杂，必须细心，一步一步按逻辑定律进行
• 前面一旦出错，后续量化计算会连带出错
• 事故树分析是安全系统工程的重要学习要点，需熟练掌握
• 化简到最简形式后，可画出等效事故树，便于直观判断控制途径
布尔代数法化简事故树
• 布尔代数法是求最小割集的方法之一，依据布尔代数运算法则，对事故树逐步
展开、逐步化解，最终得到等效最简事故树
• 运算中：或门对应” 加”（逻辑或） ，与门对应” 乘”（逻辑与）
• 化简过程要一步一步按原理和准则进行，不可跳跃，避免遗漏或失误
Study Notes 123 / 194 先看条件，再套公式

安全系统工程 课堂笔记
• 门与门之间不能直接连接，中间必须经过中间事件
行列法（富塞尔法）求最小割集
• 行列法又称富塞尔法，由学者富塞尔提出
• 基本原理：与门使割集的大小增加（横向展开） ，或门使割集的数量增加（纵向
展开）
• 操作方式：或门纵向列出，与门横向列出，逐层替代直至全部为基本事件
• 展开后如有交集，再用布尔代数进一步简化，最终得到最小割集
• 与门 → 割集大小增加；或门 → 割集数量增加（平行行数增多）
注意
用行列法展开时，应一次只展开一个门，逐步进行。若同时把多个门一起展开，
容易在计算中出现遗漏或失误。例如先展开 g1（或门）保留 g2，再展开 g2，而
不是同时展开。
例
某事故树用行列法求得最小割集为 {1,4}、{3,5}、{1,2,3}。展开过程中若跳跃步
骤，容易漏掉 {1,2,3} 这一项，需仔细核对每一步展开结果。
径集与最小径集
• 割集表示顶事件发生的模式或路径；最小割集一旦发生，顶事件必然发生
• 径集：不导致顶上事件发生的基本事件的集合，表示系统不发生故障、正常运
行的模式
• 径集越多，系统成功运行的可能性越大，系统越安全
• 径集中若存在相互包含或重复的事件，去掉后形成最小径集
定义
最小径集：顶上事件发生的最低限度的基本事件的集合。去掉其中任何一个基
本事件，它就不再是径集。
• 最小径集越多，顶上事件不发生的途径越多，系统越安全；但系统越安全，投
入也越大
对偶树（成功树）与最小径集的求法
• 将原事故树转化为对偶数（成功树） ：与门变或门、或门变与门，事件取其非
• 求成功树的最小割集，即为原事故树的最小径集
• 依据布尔代数法则：合的非等于非的合（德摩根定律） ，积的非等于非的和
注意
若原事故树中含有条件与门、 条件或门或限制门， 在转化为成功树 （对偶数） 时，
应将这些条件作为基本事件处理。教材未涉及此内容，其他教材有详细过程。
例
某事故树求最小径集：先画出其对偶数（成功树） ，再求成功树的最小割集。如
某事故树的最小割集为 {x1, x3}， 其最小径集需通过成功树的最小割集求得， 结
果可表示为三个最小径集。
最小割集与最小径集在事故树分析中的作用
• 最小割集的作用（4 个方面） ：
Study Notes 124 / 194 先看条件，再套公式

安全系统工程 课堂笔记
– 表示系统的危险性
– 表示顶事件发生的原因组合
– 为降低系统的危险性提出控制方向和预防措施
– 判定事故树中基本事件的结构重要度，方便计算顶事件发生的概率
• 最小径集的作用（3 个方面） ：
– 表示系统的安全性
– 依据最小径集选取确保系统安全的最佳方案
– 判定事故树中基本事件的结构重要度，计算顶事件发生的概率
注意
最小割集与最小径集的作用中， 前两点不同 （割集侧重危险性/原因组合， 径集
侧重安全性/最佳方案） ，但第三点相同——两者都可用来判定结构重要度和计
算顶事件发生概率。
结构重要度的概念与本质
• 结构重要度：不考虑基本事件发生概率的大小，只定性考虑各基本事件发生对
顶事件发生的影响程度
• 作用：明确基本事件对顶事件发生的影响程度，从而确定优先采取措施的方面，
有针对性地防控顶事件
• 属于定性分析范畴，但非常重要
定义
结构重要度是指在不考虑基本事件发生概率的情况下，分析各基本事件发生对
顶事件发生的影响程度，用于判断哪些基本事件更值得优先控制。
结构重要度的两种分析方法
• 精确法：计算各基本事件的结构重要度系数，从大到小排序，相对精确
• 近似法： 用最小割集和最小径集近似判断基本事件结构重要度的大小并排序， 简
便但可能有偏差
• 当事故树复杂、割集多时，精确法计算量大，宜采用近似法
事故树的结构函数
• 顶事件是基本事件的状态函数， 基本事件只有两种状态： 发生 （1） 和不发生 （0）
• 基本事件从 0→1 变化时，顶事件可能有三种变化：
– 0→0：顶事件始终不发生
– 0→1：顶事件随基本事件变化而变化
– 1→1：顶事件始终发生
• 有 n 个基本事件时，组合总数为 2 的 n 次方；固定一个基本事件变化、其余不
变时，对照组为 2 的 n-1 次方
例
3 个基本事件时，组合总数为 2³=8 种；固定 X1 从 0→1、其余不变时，对照组
为 2²=4 种。
结构重要度系数的计算
• 结构重要度系数用函数表示，反映某一基本事件变化时顶事件随之变化的组合
所占比例
• 以图 2-13（4 个基本事件）为例：n=4，2 的 n-1 次方 =8 个对照组
Study Notes 125 / 194 先看条件，再套公式

安全系统工程 课堂笔记
• 当 X2 由 0 变为 1 时顶事件由 0 变为 1 的情况有 5 种，则其结构重要度系数为
5/8
• 其余基本事件系数分别为 3/8、1/8、1/8
• 当 n 很大时，精确计算困难，需用简化方法
结构重要度的近似判断公式
• 设最小割集中有 k 个， 含有m 个基本事件， 基本事件Xi 的结构重要度系数用简
化公式近似计算
• 公式可不必死记，但要会判断排序
例
三个最小割集 {X1}、{X1,X2}、{X1,X3}：
• X1：1/3×1 + 1/2×1 + 1/2×1 = 10/9
• X2：1/3×1/2 = 1/9
• X3：1/3×1/2 = 1/9 排序：X1 > X2 = X3
近似判断的四条原则
1. 单事件最小割集（径集）中的基本事件结构重要度最大
• 如最小割集 {X1}，则 X1 的结构重要度系数最大
2. 仅出现在同一个最小割集（径集）中的所有基本事件结构重要度相等
• 如 {X2,X3} 中 X2 与 X3 相等；{X4,X5,X6} 中三者相等
3. 仅出现在基本事件个数相等的若干个最小割集（径集）中的各基本事件，结构
重要度依出现次数而定
• 出现次数多的结构重要度大，出现次数少的相等
4. 两个基本事件出现在基本事件个数不等的若干个最小割集中，需按具体情况比
较
注意
这 4 条原则必须按顺序进行判断，不能单纯使用近似判别式，否则会得到错误
结果。最基本、最重要的是第一条。
例
最小割集为 {X1,X2,X3}、{X1,X4}、{X2,X5}、{X2,X6}：
• X1 出现次数多，结构重要度大
• X3 与 X4 相等，X2 与 X5 相等
• 排序：X1 > X3 = X4 > X2 = X5
近似判断的另一种公式
• 当最小割集为 {X1,X2}、{X1,X3}、{X2,X4}、{X2,X5} 等结构时， 可用2 的 (m-1)
次方形式的近似公式判断
• 如 5 个最小割集 {X1,X2}、{X1,X3}、{X2,X4}、{X2,X5}、{X2,X6}， 用2 的 (m-1)
次方近似计算
• 此方法不一定准确，一般了解即可
注意
用最小割集和最小径集判断结构重要度，两者的结果应该一致；若不一致，需
仔细核对。
Study Notes 126 / 194 先看条件，再套公式

安全系统工程 课堂笔记
结构重要度分析的应用
• 用于确定安全检查表中需要重点反映的项目
• 用于日常检查、日常管理控制的基本要点
• 为选择控制事故的最佳方案提供依据
事故树定量分析的基本认识
• 最基本要求：求顶事件发生的概率
• 前提：必须知道基本事件发生的概率，否则计算顶事件概率没有依据
• 求出顶事件概率后，可与系统目标值比较，判断是否超标
• 若超标，需分析降低哪些基本事件的发生概率（结合结构重要度、概率重要度、
关键重要度等）
注意
结构重要度在定量分析中表现不出优势，因为还需要考虑概率重要度、临界重
要度等敏感性指标——即某个基本事件概率降低一点点，顶事件概率就降低很
多的情况。
事故树定量分析的基本条件
• 各基本事件的参数或故障率已知，且数据可靠
• 事故树中应完全包括主要的故障模式
• 对全部事件用布尔代数做正确描述
定量分析的假设条件
1. 基本事件相互独立：彼此之间没有关联性，相关系数为 0
• 若存在相关性（如 X1 与 Y1 相关） ，则假设不成立，前述分析不成立
2. 基本事件和顶事件只考虑两种状态：发生和不发生
3. 故障分布为指数函数分布：故障率函数为常数（U 形曲线底部平坦部分）
定义
故障率函数为常数时，可靠度 R = e^(-λt)，不可靠度 F = 1 - e^(-λt) ，此时故障服
从指数分布。
例
故障率函数呈 U 形 （浴盆曲线） ， 其底部平坦， 说明故障率为常数， 因此故障服
从指数分布。
平均无故障工作时间 MTBF
• MTBF（平均无故障工作时间）= 1/λ，为常数
• 在故障率为常数的假设下，MTBF 也是常数
系统单元的故障概率
• 单元故障概率：q = λ / (λ + μ)
– λ：单元故障率（单位时间内故障发生的频率）
– μ：修复率
• 由于 λ 远小于 μ，故 q ≈ λ/μ
• λ = 1/MTBF （平均故障间隔期）
• μ = 1/MTTR （平均修复时间）
Study Notes 127 / 194 先看条件，再套公式

安全系统工程 课堂笔记
• MTBF 远大于 MTTR
注意
K 为修正系数，与温度、湿度、振动及其他环境条件密切相关，用于修正故障
概率。
人的失误概率
• 人的失误是导致事故发生的重要原因，但事故树分析中很少将人作为基本事件，
这是薄弱环节
• 人的失误概率受温度、 环境压力、 疲劳、 社会因素等复杂因素影响， 难以准确确
定
• 人因工程学、人机工程学、后勤工程学（logistics）对此有深入研究
• 若有统计数据，可用统计结果；否则更多考虑元件或部件的故障概率
注意
元器件故障概率与人的失误概率之间有关系，但人的失误概率通常不准确，需
专门研究。
10 月 27 日
布尔代数与摩根定律
• 事故树化简最终归结为摩根定律的两个基本形式
• 摩根定律是事故树化简中最核心、最常用的工具
• 逻辑值运算需掌握：等幂率、吸收率、交换率、结合律、分配律等
• 化简过程中需注意基本事件的吸收、合并
定义
摩根定律（De Morgan’s Law ） ：
• 和的非等于非的积：𝐴 + 𝐵 = 𝐴 ⋅ 𝐵
• 积的非等于非的和：𝐴 ⋅ 𝐵 = 𝐴 + 𝐵
例
无条件时，与门可直接变为或门，或门变为与门，同时加上一个” 非”。若有条
件时，需把条件变成一个基本事件再处理。
割集与最小割集
• 割集：能导致顶事件发生的基本事件的集合
• 最小割集：最低限度的基本事件构成的割集，去掉任何一个基本事件就不再是
割集
• 割集表示顶事件发生故障的模式或路径
• 割集越多，系统失效的可能性越大，事故的危险程度越高
定义
割集：能导致顶事件发生的基本事件的集合。最小割集：若割集中任意去掉一
个基本事件后就不再是割集，则称该割集为最小割集。
Study Notes 128 / 194 先看条件，再套公式

安全系统工程 课堂笔记
注意
割集越多 → 失效可能性越大 → 危险性越高。这是考试中常考的判断/选择点。
径集与最小径集
• 径集：不导致顶事件发生的基本事件的集合（即成功）
• 最小径集：不导致顶事件发生的最低限度的基本事件的集合
• 径集越多，系统越安全
• 控制事故可从两方面入手：控制割集不让其发生，或利用径集保证成功
定义
径集：不导致顶事件发生的基本事件的集合（成功集） 。最小径集：不导致顶事
件发生的最低限度的基本事件的集合。
注意
割集对应” 事故/失败”，径集对应” 成功”，两者互为对偶关系，注意区分。
最小割集与最小径集的求解方法
• 方法一：布尔代数化简法
• 方法二：行列法（行列式法）
注意
行列法两个原则：
• 与门：增加割集（或径集）的个数，不增加元素
• 或门：增加割集（或径集）的元素，不增加个数
从左到右展开时，要分清是增加个数还是增加元素，不要混淆。
结构重要度分析
• 结构重要度：反映基本事件发生对顶事件发生的影响程度，不考虑基本事件发
生概率
• 两个基本求解思路：
1. 通过结构函数分析（较准确）
2. 近似判断（利用最小割集或最小径集）
定义
结构重要度：不考虑基本事件发生概率，仅从结构上分析基本事件发生对顶事
件发生的影响程度。
注意
近似判断不一定准确，结果可能有偏差。若近似方法能完全符合要求，可不采
用结构函数法；否则需用结构函数法验证。
结构重要度系数的求法
• 基本事件从 0→1 变化时，观察顶事件状态是否随之变化
• 顶事件状态随基本事件变化而变化的次数，即为结构重要度判断依据
• 需罗列基本事件从 0→1 时顶事件变化的全部状态（共 2𝑛−1 种）
Study Notes 129 / 194 先看条件，再套公式

安全系统工程 课堂笔记
例
4 个基本事件时，𝑛 = 4，需考察 24−1 = 8 种状态。若某基本事件从 0→1 时顶
事件有 5 个状态发生变化，则其结构重要度系数为 5/8。
结构重要度的近似判断
• 利用最小割集或最小径集进行近似判断
• 基本思路：看基本事件在最小割集（或径集）中出现的次数和位置
• 单事件割集（或径集）中的基本事件结构重要度最大
• 出现次数相同的基本事件，结构重要度相同
例
若基本事件 𝑥1 在最小割集中出现次数最多，则其结构重要度最大。若 𝑥1、𝑥2、
𝑥3 出现次数相同，则三者结构重要度相等。排序示例：𝐼1 > 𝐼 4 = 𝐼 2 > 𝐼 2 = 𝐼 5
（依具体割集结构而定） 。
注意
近似判断时若出现模棱两可 （无法直接判断大小） 的情况， 需通过近似计算 （如
1/𝑘 求和）来比较，不能仅凭直观判断。
最小割集与最小径集的应用
• 可选择控制事故的最佳方案
• 结合结构重要度分析，可进行定量分析
• 为事故预防和系统优化提供依据
定量分析的前提条件
• 基本事件故障参数（故障率）已知且数据可靠
• 可参考相关故障数据库（需注明数据来源）
• 事故树已化简，可用布尔代数表示（存在函数关系）
• 需注意化简后可能出现的相同基本事件（如 𝑥1 与 𝑥2 相同） ，代入数据前必须合
并
注意
布尔代数写出后， 若中间出现相同的基本事件 （如𝑥1 或 𝑥2 重复出现） ， 必须化
简到最简形式后才能代入数据，否则计算结果错误。
定量分析的教学假设
• 基本事件之间相互独立
• 基本事件只考虑两种状态（发生/不发生）
• 故障分布假定为指数函数分布
定义
指数分布假设： 假定故障分布为指数函数分布， 这是定量分析的重要前提假设。
注意
为什么假定故障分布为指数函数分布？因为指数分布具有无记忆性，便于数学
处理，是可靠性分析中的常用假设。此假设是考试重点，需理解其意义。
Study Notes 130 / 194 先看条件，再套公式

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